Асимптотическое решение уравнения для импеданса

Рассмотрим асимптотическое разложение решения уравнения (6) по параметру 1/а при а→∞, и в главном приближении уравнение (6) принимает вид:

Исследуем решения этого уравнения для модели среды описанной выше, аналогично тому, как это было сделано в работе [4].Тогда учитывая, что имеем:

Здесь h2 - постоянная определяемая из граничных условий, θa и θb координаты пересечения силовой линией поля окружностей радиусами r = a и r = b; h0 - длина отрезка силовой линии геомагнитного поля в ионосфере и h1 - длина части силовой линии расположенная в магнитосфере (θb ≤ θ ≤ π-θb). При расчетах будем полагать, а=6400 км, b=7000 км. Нетрудно показать, что для выбранной модели геомагнитного поля уравнение силовой линии, проходящей через точку с координатами (a, θa), имеет вид r =a (sin θ)2 / (sin θa)2. Предыдущая, более простая модель [4], давала зависимость r =a sin θ / sin θa . Координата h вдоль силовой линии геомагнитного поля в рассматриваемом случае определяется по формуле:

(Сравним для предыдущей модели , что существенно упрощало решение задачи.) Удовлетворяя граничным условиям при θ=θb (h=h0) и θ=π-θb (h=h0+h1), из уравнений (8) и (9) получим:

(11)

Из уравнений (11) найдем дисперсионное уравнение для собственных частот ионосферно-магнитосферного альвеновского резонатора (ИМАР) в форме

(12)

Здесь cA1= ω/k1 - альвеновская скорость в магнитосфере, cA= ω/k - альвеновская скорость в ионосфере. Решения уравнений (8), (9), (12) - будут приняты нами в качестве исходного приближения. Очевидно, что при |M|→∞ уравнение (12) имеет две независимых серии корней. Первая находится из уравнения и определяет собственные частоты магнитосферного альвеновского резонатора (МАР), корни второй серии являются двукратно вырожденными и определяются из уравнения . Эти корни соответствуют спектру собственных частот ИАР. При конечном значении параметра |M| (обычно ~100 - 200) вырождение снимается, и частоты расщепляются. При этом более корректно рассматривать единый объект ИМАР, и определять его собственные частоты, решая уравнение (12) численно.

Следующее приближение решения нелинейного уравнения Рикатти (6) в тех характерных областях можно построить, формально разлогая это решение по параметру, ε вводимому в соответствии с формулой

α(h)=

Тогда собирая члены одинаковыми степенями ε, с точностью до поправок первого приближения имеем:

Здесь

Очевидно (13) совпадает с (7), а решение (14) может быть найдено по формуле:

Решение проходит через точку(h0,U1(h0)). В трех характерных областях для поправок первого приближения получим:

Здесь п=0, 1; h2=2h0+h1, h4= h2/2. Потребовав непрерывности модифицированного импеданса на границах сферических слоев, получим дисперсионное уравнение (два уравнения) для определения собственных частот ИМАР. Эти уравнения, при переходе от интегрирования по h к интегрированию по θ, имеют вид:

Другие стьтьи в тему

Разработка проекта технической составляющей системы защиты речевой информации на объекте информатизации
В век информации, когда действует принцип - кто владеет информацией, тот владеет миром, желающих таким образом овладеть миром предостаточно, а значит, существует устойчивый спрос на информацию, полученную несанкционированным путем. В такой ситуации головная боль владельца информации - ...

Разработка рекомендаций по применению систем функционального дополнения спутниковой навигации
Традиционные средства навигации не достаточно точно обеспечивают требуемую надежность и точность, недостаточно автоматизированы и не могут устранить влияние человеческого фактора. Основным навигационным средством будущего станут глобальные спутниковые системы навигации (Global Naviga ...